Домен – группа узлов Интернета, объединенная по тематическому, географическому принципу, принадлежности частным лицам или организациям и т. п., входящая в иерархическую структуру Сети; часть адреса ресурса, отделяемая точками и определяющая область его регистрации.
Возможны варианты: сколько двоен и сколько двойней.
Грамматически верно: диогеновой, но этот оборот обычно употребляется в форме бочка Диогена.