Корректно с прописной буквы: В регионе проходят Дни культуры, Дни поэзии, Дни архитектуры.
Правильно: мини-холодильник. Мини- - это первая часть сложных слов, присоединяемая к последующей части дефисом.
День снежный. ТурбинЫх.
Пишется раздельно: мини вокальный конкурс.
Правильно: мини-проектор. Мини-... как первая часть сложных слов пишется через дефис (кроме слов минивэн, минимаркет, минимобиль, минипиг, минипьяно, миницикл).
Верно: кроме воскресенья.