В значении 'осуществлять' верен второй вариант.
Эпиграф в кавычки не заключается.
Мы не выполняем домашние задания. Вы можете проверить себя, воспользовавшись толковым словарем.
Правильно.
Например: Мы предлагаем нашим оппонентам диалог.
Оба варианта возможны. См. ответы на подобные вопросы в архиве справочной службы.
Современная литературная норма – только диалОг. Вариант диАлог маркируется в словарях как устаревший.