Словарной рекомендации нет, однако логичным выглядит слитное написание.
Общеупотребительный, стилистически нейтральный вариант – похудение. Вариант похудание просторечно-разговорный.
Да, фамилия Дзера склоняется.
Все варианты возможны. Сочетание спорт или диета можно рассматривать как однородный ряд, а местоимение что — как обобщающее слово при нем; это же сочетание можно оформить и как пояснительную конструкцию, с помощью запятой или тире.
Выполнить это задание Вам помогут словари, опубликованные на нашем портале. Воспользуйтесь строкой «Искать на Грамоте».
Нет. Во-первых, слова диета и пост различаются по значению; во-вторых, само сочетание я на посту (в значении "я соблюдаю пост") невозможно.