Да, мужская фамилия Брагиш склоняется. Женская фамилия несклоняема.
Верно (если подразделения привлекаются к рассмотрению обращений): привлечение других структурных подразделений к рассмотрению обращений.
Мужская фамилия Дворкович склоняется. Правильно: Г-ну Дворковичу Аркадию Владимировичу.
Верно: На этой неделе мы публиковали работы таких авторов, как Пушкин, Лермонтов, Есенин и другие.
Оба варианта корректны.
Склоняются обе части слова: в других счетах-фактурах.
Предпочтительно: две другие отметки.
На наш взгляд, пункты данного перечня не следует называть "направлениями". Может быть, так: проверить по следующим показателям...