Слово ясли-сад имеет форму мн. числа, и в нем склоняются обе части. Поэтому правильно: детские ясли-сад, Положение о детских яслях-саде, заведующий детскими яслями-садом.
Писать детский волос можно.
Конкретное существительное может употребляться в собирательном, обобщающем значении, например: Не перевелась ещё благородная птица тетерев (Тургенев). Здесь существительное тетерев использовано в единственном числе, однако оно обозначает множество всех таких птиц.
Верно с тире: детский сад — партнер.
Оба варианта корректны.
Грамматически корректно: уравнение имеет n+1 решение, n+1 режим.
Как можно заметить по представленным примерам, выбор предлога зависит от используемого глагола. Нужно уточнять глагольное управление (т. е. выбор предлога) в словаре, в словарной статье, посвященной соответствующему глаголу.
Возможно: режим "мячик" или режим мячика. В остальных примерах написание без кавычек корректно.
Варианты равноправны.
Корректно: заведующая детским садом.
