Лучше: принять чью-либо сторону (в споре, конфликте).
"Куда путь держишь?" - куда направляешься.
Лучше переформулировать фразу, например, так: Двери лифта должны быть полностью открыты.
Действительно, тире на месте пропуска слова делает структуру фразы более ясной, что может быть полезно в официальных документах для повышения читаемости и точности.