Уместно написание обоих слов с большой буквы в этом сочетании.
Лучше переформулировать фразу, например, так: Двери лифта должны быть полностью открыты.
Верно: памяти оставшихся в горах.
Кавычки не нужны.
"Куда путь держишь?" - куда направляешься.