Написание аналогичное. См.: Как писать слова, связанные с церковью?
Мужская фамилия склоняется, женская – нет.
Учитель – существительное 2-го склонения (по школьной грамматике). Это слово мужского рода с нулевым окончанием.
Верно написание со строчной буквы во всех перечисленных случаях.
Корректно: удачный день.
Верно написание первого слова с прописной.
Можно так: продлить командировку на один день.
Верно: День рыбака (как название профессионального праздника).