Правильно: племена татаро-монголов.

Все служебные слова (союзы, артикли, предлоги) в составе личных имен пишутся со строчной буквы вне зависимости от позиции в начале или в середине слова: Александр фон Ганн и фон Ганн. 

Названия племен, народов пишутся без кавычек и со строчной буквы, приведем несколько примеров из академического «Русского орфографического словаря»: апачи, гунны, дауры, манси, маори, мещера, мурома, словене, тонга. Так же пишутся и названия, состоящие из двух частей, см., например, статью мяо в «Большой российской энциклопедии».  

Нужно тире с пробелами (или можно использовать косую черту). Если написать через дефис, получится, что это двойная фамилия одного человека (как Римский-Корсаков).

 Правильно: Генин портфель.

Следует писать с большой буквы (как и фазы Луны).

Правильно: Гуму.

Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.

Верно: г-ну Кочерге (если именительный падеж - Кочерга).