Возможны обе фамилии - и Грей, и Грэй.
Лучше всего - просто попросить ребенка запомнить это слово.
Корректно: "фабрика грез".
В словарях русского языка: впавший. Но впадший трудно счесть ошибкой (скорее - славянизм).
Согласно словарю Ф. Л. Агеенко «Собственные имена в русском языке»: Зигмунд Фрейд.
Правилен второй вариант.
Склоняется фамилия Рейх, принадлежащая мужчине. Женская фамилия не изменяется по падежам.
Это предложение корректно.