"Гонки по вертикали" - название книги братьев Вайнеров и одноименного советского фильма. Дополнительная информация - в ветке форума ГРАМОТЫ.РУ.
Гонки на лошадях - нехарактерное для русского языка выражение.
Это выражение закавычивать не обязательно.
Если под этим названием скрывается историческое событие, то прописная буква нужна. Однако нам не удалось найти сведений об этом событии.