Первый вариант неправилен. Второй вариант возможен, также возможен и вариант написания без прописных букв. По отношению к ведомству Морского министерства Российской империи, полагаем, сейчас приемлемы оба написания. Какой была форма названия в официальных документах, нам установить не удалось, но в публикациях об истории российского флота встречаются и вариант со строчной, и вариант с прописной (неправильные написания тоже попадаются, но на них ориентироваться не стоит). Главное, чтобы в одном тексте использовался какой-то один вариант. 

Это название не склоняется. 

Возможны оба варианта.

Следует писать строчными (маленькими) буквами.

Названия высших государственных должностей и титулов пишутся с прописной буквы только в официальных текстах. 

Корректно со строчной: московский губернатор, тюменский главный врач. 

Это сочетание не вполне удачное.

Мужской род опорного слова штат предопределяет родовую квалификацию топонима.

Не можем дать точный ответ, так как не вполне ясно, что имеется в виду. (Главный конструктор — это должность, программное обеспечение, игра? О какой теме говорится в вопросе?)