Корректно: туфли "Мэри-Джейн". 

Лучше всего написать: мэру Москвы. В канцелярской речи: мэру города Москвы.

Лучше всего: мэру Хабаровска. Канцелярский вариант: мэру города Хабаровска. Вариант мэру города Хабаровск не соответствует литературной норме.

Предложение Череповец выбрал мэра тоже верное, в нем используется метонимия.

Правильно: мэр города Иркутска.

Правильно: мэр города Магнитогорска (см. Горячую десятку вопросов).

Если речь идет о персонаже романа М. Ю. Лермонтова «Герой нашего времени», правильно: Мери. Однако по нормам современного письма во многих собственных именах иноязычного происхождения (в том числе в имени Мэри) после согласных для передачи гласного э и одновременно для указания на твердость предшествующего согласного пишется буква э. Словари фиксируют написания Мэри Пикфорд, Мэри Шелли и др.

Предпочтительна форма мужского рода.