Орфографически верно: гвардии капитану.
Правильно: Национальная гвардия. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Обе формы сказуемого корректны.
См. словарную фиксацию.
См. ответ на вопрос № 284134.
Запятая необходима.
Верно: Президент поручил кабмину (Правительству).