В бытовом употреблении можно писать без кавычек и со строчной: гауда.
Нет, эти слова имеют разные корни и разное происхождение.
В названии сыра гауда (и в названии голландского города Гауда, в честь которого назван сыр) ударение на первом слоге.
Эти слова обычно употребляются как существительные женского рода.