Определение, относящееся к двум существительным, может стоять в единственном числе, если по смыслу сочетания ясно, что определение относится не только к ближайшему существительному. Здесь именно такой случай: жить в унисон с вселенской гармонией и порядком.

Корректно по всему тексту писать Айболит без кавычек. В рамках рассказа Айболит становится прозвищем данного персонажа, и нет необходимости всякий раз подчеркивать кавычками условность этого наименования.

При подлежащем, выраженном количественно-именным сочетанием, обозначающим неопределенное множество (как в случае много людей/парней/девушек), сказуемое может стоять как в форме единственного числа (грамматическое согласование), так и в форме множественного числа (согласование по смыслу). Согласование по смыслу — более новый вариант нормы. 

Правильно: Никита и Антон старались сохранять спокойствие, но безуспешно, и, прежде чем успели понять, что вокруг происходит, оказались в самой гуще ожесточённого спора.

Правильно: Обидевшись, Вася заявил: «Я с вами категорически не согласен» — и выбежал из комнаты, громко хлопнув дверью. В данном случае прямая речь заключена внутри слов автора, см. об этом «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), параграф 136.

Имя прилагательное в составном сказуемом независимо от типа связки употребляется как в форме именительного, так и в форме творительного падежа. Поэтому верны оба варианта.

В этих предложениях запятая не нужна, так как союз и связывает два однородных члена. 

Однородные члены предложения, соединенные одиночными соединительными или разделительными союзами (и, да  в знач. «и»; или, либо ) не разделяются запятой: Теплоход встал поперек реки и дал течению развернуть его вниз, по ходу (Расп.); День да ночь – сутки прочь (посл.); Поддержит он Уздечкина или не поддержит? (Пан.).

Верен первый вариант: ...лица, на которое возложены обязанности.

Правильно раздельное написание, так как г., с., гр. — это сокращения слов, а слова пишутся раздельно. Образец написания можно найти в «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина и Л. К. Чельцовой.

В «Справочнике по пунктуации» Д. Э. Розенталя сформулировано правило:

Если между внутренними и внешними кавычками стоит вопросительный или восклицательный знак, то рисунок кавычек может не меняться, например: Выдающимся публицистическим произведением А. М. Горького является статья «С кем вы, «мастера культуры»?» (§ 68, п. 5).