При употреблении в сочетании с родовым словом согласование не требуется: жители села Ясная Поляна.
Если имеется в виду женская фамилия Забава, то она склоняется: Забавы Полины.
Оба варианта корректны.
Верно: съездить в Красную Поляну.
Правильно: в поселке Ясная Поляна. См. «Письмовник».
Предпочтительно: головы полны знаний. Используются оба варианта управления (полон чего и полон чем), но с разными оттенками значения.