Корректны оба сочетания.
Притяжательные прилагательные надо писать с прописной: Ирина тетрадка, Мишина машина.
Да, можно использовать притяжательное прилагательное Верина.
Московская электронная школа как название организации, электронного ресурса, проекта правильно писать с заглавной буквы. Но теоретически это сочетание может быть использовано и не как название, тогда его нужно писать со строчной буквы.
Правильно: Тебе нужна машина?
Верен второй вариант, поскольку речь идет о неодушевленных предметах.
Оба варианта корректны.