Верен первый вариант, поскольку поставщик выписывает накладную (в одном или нескольких экземплярах).
Предложение построено неудачно. Предлагаем такие варианты: В той копии товарной накладной на отгрузку, которая останется у клиента, необходимо указывать фамилию экспедитора; В предназначенной клиенту копии товарной накладной на отгрузку необходимо указывать фамилию экспедитора.