Первый вариант предпочтителен.

Согласно орфографическому словарю (см. «Искать на Грамоте»): Губчека.

Слова Международный, Всемирный, Всероссийский в названиях конференций, конгрессов, фестивалей, конкурсов и т. п. пишутся с прописной. Правда, обычно эти слова следуют сразу за порядковым номером мероприятия (если он есть), например: II Всероссийская научно-практическая конференция «Название конференции». Но и в приведенном Вами примере написание с прописной верно.

Оба варианта нехороши. Корректно: пройти обследование, проведенное (проводимое) комиссией. 

Правильно: председатель комиссии.

Следует писать слитно.

Слово Всероссийский пишется с прописной буквы как первое слово названий организаций, обществ, мероприятий и т. п.: Всероссийский выставочный центр, Всероссийская государственная телевизионная и радиовещательная компания, Всероссийская конференция «Шаг в будущее». Во множественном числе верно написание со строчной: участвовали во всероссийских конференциях.

Вы имеете в виду Всероссийскую олимпиаду школьников? С большой буквы.