Да, корректно писать с большой буквы.
Корректно: всемирная история.
Об Интернете: Всемирная паутина.
Правильно: Всемирная универсиада.
Правилен второй вариант.
Да, в обобщенном значении 'государственное образование в составе федерации' сочетание субъект федерации пишется строчными (если речь идет, например, о штатах США или Индии, швейцарских кантонах, землях Австрии или Германии и т. п., хотя такое употребление встречается нечасто). Однако если речь идет о субъектах Российской Федерации (государственно-правовых образованиях, входящих в состав Российской Федерации), слово Федерация пишется с большой буквы, т. к. употребляется здесь в значении 'Российская Федерация', т. е. является именем собственным.
Правильно: субъект Федерации.
Лучше: подписан в г. Москве (Российская Федерация) в двух экземплярах...