Склоняется только мужская фамилия: Суббот, Суббота, Субботу, Суббота, Субботом, о Субботе.

Оба сочетания возможны.

Можно так: по субботам в газете (в субботнем выпуске) публикуется телепрограмма.

Оба варианта корректны.

Предлоги могут повторяться, если нужно логически выделить каждое слово в ряду, но могут и не повторяться, если необходимо подчеркнуть смысловую близость однородных членов. 

Допустимо: суб-бота, класс-ная.

Да, эта фамилия склоняется – и мужская, и женская.

Лучше написать: по понедельникам, пятницам и субботам.

Пояснительные члены предложения равны по значению поясняемым, но называют их по-другому, уточняющие — сужают понятие, обозначаемое словом, к которому относятся. Сочетание 27 января едва ли может сужать понятие, передаваемое предложно-падежной формой в субботу, поскольку в подобных контекстах в субботу значит 'в ближайшую субботу', то есть имеется в виду конкретный день. Значит, перед нами пояснение. Ограничение понятия наблюдалось бы в том случае, если бы в предложении была указана не дата, а время, например: В субботу в 18:00 состоится лекция. В этом случае возможен как вариант без знаков препинания, так и вариант с обособлением: В субботу, в 18:00, состоится лекция.

Название памятного дня в православии - Родительская суббота. В остальных случаях коректно написание строчными.