Налить (немного) воды, налить (эту) воду, выпить (стакан) воды, выпить (всю) воду.
См. ответ 281220..
Верно: Можно я пойду попить воды?
Возможны оба варианта.
В данном случае "вОды" - корректно (в знач. "напитки").
Оба варианта корректны. Первый общеупотребительный, второй - народно-поэтический.