Слова вода и водка исторически родственны, но сейчас их вряд ли можно признать однокоренными, значение слова водка невозможно истолковать через значение слова вода. Приведем статью из этимологического словаря Н. М. Шанского и Т. А. Бобровой.

Во́дка. Искон. Суф. производное от вода. Первоначальное значение «спиртовой лекарственный настой» (на травах). Значение «водка», очевидно, возникло у этого слова под влиянием польск. wódka — свободной кальки лат. aqua vita «алкоголь» (буквально — «вода жизни»).

Правильно и так и так.

Такая глагольная форма существует. Но лучше сказать: управлять машиной, управляй машиной.

Чужбина.

Возможны разные написания, выбор зависит от контекста. В приведенном предложении две заглавные буквы стилистически оправданны, они подчеркивают особый высокий смысл.

Правильно: Родина-мать зовет. Родина-мать – подлежащее, зовет – сказуемое.

Это слово может быть написано с большой буквы в контексте, где ему приписывается особый высокий смысл.

Корректно: троих детей.

Возможен первый или второй вариант.

Запятая после ходила нужна.