Корректно: клеильный пистолет. В «Большом академическом словаре русского языка» (Т. 8. М., СПб., 2007) это прилагательное фиксируется в значении 'предназначенный, служащий для склеивания'.
Возможный вариант расстановки знаков препинания: В таком случае сопровождающий военный спасатель должен следить за состоянием дыхательных путей, дыханием, кровотечением раненого и при необходимости делать внутривенное вливание.
В этих случаях кавычки ставить не нужно.