Верно: взвесить.
Верно: взвесить все за и против (с буквой Е, без кавычек).
Верно: страны, которые.
Правильно: Эти люди стремятся выведать не что вы написали, а кому и когда.
Нет, такое употребление неправильно. Глагол завесить в русском литературном языке имеет только одно значение: «то же, что занавесить: закрыть, скрыть, повесив что-либо».
Кавычки не нужны: взвесить все за и против.