Это сочетание не закреплено словарями, но оно подпадает под следующее правило: пишутся раздельно наречные сочетания (два или более), в которых опорное существительное употребляется в разных предложно-падежных формах. Ср.: пошел в занос, вывести из заноса, при заносе сбросьте газ. Поэтому корректно раздельное написание. Кавычки не нужны.
Принципиально возможно, но надо видеть контекст.
Да, это словосочетание: между существительным и местоимением есть подчинительная синтаксическая связь.
Правильно с одной Н: званой.
Запятая нужна: То левой, то правой лапой медведь запихивал хворост в берлогу.
Кавычки не нужны. Но лучше сказать "пишет как курица лапой".
В разговорной речи - "запор".
Оба варианта возможны.