Корректно написание строчными буквами.
Оба варианта возможны.
Верно: сельский Дом культуры (если слово сельский не входит в официальное название учреждения).
Кавычки в этом случае не требуются. Ср.: село Лесное.
Названия без родового слова склоняются: работаю на «Красноармейце», проинформировал «Горожанина», «Сельского курьера». Но: работаю на заводе «Красноармеец», проинформировал газеты «Горожанин» и «Сельский курьер». Существительное москвич в значении 'автомобиль' — неодушевленное: сел в москвич.
В именительном и винительном падежах верно: 24 сельских поселения.
Словарной фиксации нет. Возможны варианты написания: Великий смог, «великий смог».
Корректно: (в городе) Ростове Великом.