1. Правила таковы. Слова королевство, республика, государство и др. пишутся с большой буквы в официальных названиях современных государств, например: Королевство Испания, Соединенное Королевство; Федеративная Республика Германия, Литовская Республика; Государство Израиль, Государство Катар. В исторических названиях государств слова королевство, республика, государство, империя, держава и др. пишутся с маленькой буквы, а с большой буквы пишутся собственные названия, например: Французское королевство, Сицилийское королевство; Новгородская республика, Венецианская республика; Восточно-Франкское государство, государство Чжоу; Российская империя, Британская империя, империя Цинь; Великоморавская держава.
Таким образом, орфографически верным будет написание Франкское государство, Франкская империя, империя франков, государство франков (оба слова со строчной, т. к. нет имени собственного), империя Каролингов, империя Карла Великого, держава Карла Великого и т. п.
2. На этот вопрос мы попросили ответить одного из авторов словаря – В. В. Лопатина. Написание со строчной таких слов, как гитлерюгенд и ку-клукс-клан (хотя это, действительно, индивидуальные названия организаций, движений), обусловлено исключительно многолетней традицией. Традицией, в формировании которой немалую роль сыграла и определенная идеологическая подоплека: гитлерюгенд – нацистская, вражеская организация, ку-клукс-клан – организация, проповедующая враждебную нам расистскую идеологию. Иными словами, сложилась традиция написания этих слов со строчной как обозначающих чуждые понятия.
Корректное написание: Российская держава.
Корректно: Центральные державы. Ср.: Тройственный союз (это название фиксирует орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН). Написание отвечает правилу: в названиях объединений государств (современных и исторических, официальных и неофициальных) с прописной буквы пишется первое слово, а последующие слова пишутся по традиции.
Указанная запятая не нужна.
Смысл этой фразы совершенно непонятен, ее нельзя назвать корректной.
И здесь есть еще одна орфографическая ошибка. Правильно: брезжущий.
Следует писать слитно.
Корректно: Сьенфуэгос – один из городов процветающей социалистической державы Кубы.
Имидж страны - правомерное сочетание. Не забудьте убрать запятую перед союзом "как".
