Оба варианта верны.
Слово-то существует. Но с какой целью Вы используете именно форму множественного числа? Наверное, форма единственного числа будет более уместной?
Правилен второй вариант.
1. Существительное можно пропустить: назначить ответственным за ведение журнала такого-то.
2. Корректно: обязанность по ведению журнала.
В этом значении форма мн. ч. практически не используется.
Можно.
Из этих двух вариантов формально более верно раздельное написание.
Однако, на наш взгляд, лучше такой вариант: Ведение реестра жилых объектов на территории республики, строительство которых не завершено.