См. в «Справочнике по фразеологии».

Устойчивое употребление: вязать на спицах.

В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова (М., 2002) в этом слове выделен корень -вяз-. Словообразовательная цепочка: вязать – связать – связь – связист. Вероятно, учительница считает слово связь непроизводным в современном русском языке. Эту точку зрения можно понять: на современном этапе развития языка вывести значение слов связь, связист из корня -вяз- затруднительно. Но всё-таки представляется, что смысловые связи между словами вязать – связать – связь разрушены еще не полностью и выделение корня -вяз- пока еще оправданно.

Слово связка образовано суффиксальным способом от глагола связать. Словообразовательная цепочка: вязать – связать – связка.

Употребление хурма вяжет рот корректно и в устной речи, и на письме. Такое значение слова вязать зафиксировано в словарях.

Предоставляют поддержку, поэтому верно: меры социальной поддержки, предоставляемой за счет средств бюджета.

Корректно: В связи с поломкой просим поменять кресло И. И. Иванова.

Корректно: моя недикая орхидея.

Правильно: влезать. Влазить – просторечие.