Правильно без мягкого знака.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Да, объяснение есть. Валенки пишется через е, потому что исторически связано с причастием валенный, образованным от глагола валить в значении «скатывать, сбивать что-либо из шерсти». В современном русском языке слово валенки является исключением, так как соотносится с глаголом валять, с сочетанием валяные сапоги.
Валить кулем, кульем - означает "в больших количествах, мешками": Беды кульем валятся, а счастье золотниками.