Написание Маяковского в этом случае не соответствует сложившейся орфографической норме. Верно сегодня: Лилечка.
Чаще говорят кличка. Но использовать слово имя в этом случае тоже не запрещено.
Правильно: Лилечка.
Правильно: Лилечка.
Орфографически верно: Лилечка. Но если есть семейная традиция - писать через И, - то нарушать ее не нужно.
Нормативно: Лилечка.