Орфографический словарь РАН допускает оба варианта.
В нормативных документах принято: в Республике Бурятия.
Мужская фамилия Бурлака склоняется как существительное: Бурлаки, Бурлаке, Бурлаку и т. д.
Эту фамилию нужно склонять.
Верно: Бурятия — первый из российских регионов, где ввели масочный режим.
Эту фамилию следует склонять.
Мужскую фамилию нужно склонять.