Правописание этих слов подчиняется правилу о написании гласных в так называемых чередующихся корнях: гласный передается на письме буквой и, если сразу после корня стоит под ударением гласный а; в остальных случаях (при отсутствии ударного а после корня) на месте безударного гласного пишется буква е (разбирать — беру, удирать — задеру, расстилать — стелить и др.).
Правильно сейчас: заревой. Не во всех словарях отражена современная орфографическая норма.
Написание можно проверить при помощи слова краток (краткий).
См. в пособии по русскому языку.
Написание строчными буквами корректно.