Мужская фамилия Буцун склоняется (Буцуну, Буцуна, Буцуном, о Буцуне), женская не склоняется. Правила читайте в работе Н. А. Еськовой.

Эти слова пишутся строчными буквами, кавычки не требуются.

Мужская фамилия Булай склоняется, правильно в дательном падеже: Булаю.

Противоречия между ответами нет. При наличии родового слова (чай, сорт) такие названия заключаются в кавычки: чай "ассам", сорт "улун", но ему нравится улун. 

В Вашем предложении употреблена составная форма будущего времени. Она образуется с помощью глагола быть в личной форме и инфинитива. В инфинитиве пишется мягкий знак, поэтому правилен первый вариант. 

Фамилия Шашура (мужская и женская) склоняется. Фамилия Бакун (мужская) также склоняется.

Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.

Как правило, в подобных конструкциях употребляется винительный падеж.