Мужская фамилия Буцун склоняется (Буцуну, Буцуна, Буцуном, о Буцуне), женская не склоняется. Правила читайте в работе Н. А. Еськовой.

Это слово пока что не зафиксиовано нормативными словарями, однако более употребительна форма буузов. 

В Вашем предложении употреблена составная форма будущего времени. Она образуется с помощью глагола быть в личной форме и инфинитива. В инфинитиве пишется мягкий знак, поэтому правилен первый вариант. 

Фамилия Шашура (мужская и женская) склоняется. Фамилия Бакун (мужская) также склоняется.

Нормативно и стилистически нейтрально: буду стирать. В непринужденной речи допустимо: буду стираться (в знач. 'устрою стирку').

Как правило, в подобных конструкциях употребляется винительный падеж.

Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.

Оба способа пунктуационного оформления возможны.