Верно: предоставить отпуск Будаю.
Мужская фамилия Булай склоняется, правильно в дательном падеже: Булаю.
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
Да, мужская фамилия Букач склоняется.
Мужская фамилия Бажан склоняется. Корректно: Артёму Бажану.