Возможно: удочка-балалайка, удочка "балалайка".
Запятая не ставится.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Предлагаем воспользоваться окном «Искать на Грамоте» на нашем портале (толково-словообразовательный словарь).
Употребительнее: забросили удочки.