Корректно: Сергей Бугаев – Африка или Сергей Бугаев (Африка) (без кавычек).
Мужская фамилия Булай склоняется, правильно в дательном падеже: Булаю.
Верно: предоставить отпуск Будаю.
Да, эту фамилию, принадлежащую мужчине, нужно склонять.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Фамилию Бугаря следует склонять. Однако не склоняют, например, французские имена и фамилии с ударным А или Я (Николя, Дюма и др.).
Можно образовать сочетание улиточные бега.