Нет, эти слова этимологически не родственны. Для более подробного изучения этого вопроса можно обратиться к этимологическим словарям.
Правильно: музей «Банный корпус».
Существительное вонь в значении 'дурной запах' является разговорным. Стилистическая окраска глагола вонять зависит от значения, см. «Большой толковый словарь русского языка» под. ред. С. А. Кузнецова.
«Справка» не выполняет домашних заданий.
Определения мрачный и пустынный в общем случае характеризуют берег с разных сторон: мрачный говорит о производимом им гнетущем впечатлении, пустынный — об отсутствии на нём людей, животных, растений. Следовательно, запятая между ними не нужна. Другое дело, что второй из этих признаков тоже может производить гнетущее впечатление. Если требуется подчеркнуть это в художественном тексте, то определения можно счесть однородными и поставить между ними запятую.
В этом случае нужно закрыть ряд однородных согласованных определений после определяемого слова (а такие определения по правилам обособляются) и поставить знак между частями сложносочиненного предложения. Рекомендуем для разделения частей использовать тире, так как требуется передать быструю смену событий, а определения выделить запятыми: Вздох, тяжёлый и мрачный, — и я зажмуриваюсь, плотно сжав зубы.
Предпочтительно употреблять прилагательное крановый (к кран).
Словарной фиксации нет. Преобладает написание со строчной буквы, этой тенденции и нужно следовать.
