Верно: появиться ниоткуда. У Бродского: "Ниоткуда с любовью...".

Правильно: борешься.

Мягкий знак указывает на форму слова - инфинитив.

В значении "сбрить все волосы" такое сочетание может употребляться в разговорной речи.

Можно сказать: бороться с незаконными перевозками, с незаконным провозом.

Такие сочетания возможны.

Нет.

Только точка в конце предложения.

Правильно: США боятся, США заявляют.

Правильно: Главное – не торопиться. Главное – не бояться. Тире ставится между подлежащим и сказуемым, если один из главных членов выражен формой именительного падежа существительного (а слово главное употребляется здесь в знач. существительного), а другой — неопределенной формой глагола. Наличие отрицания не снимает знака.

Ср.: Главное, не бойся. Главное, теперь не надо торопиться (обособляется вводное слово главное).