Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Перед глухой согласной с пишется приставка бес-: бессажевое горение.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Такое употребление некорректно, сочетание избыточно.
Какой смысл вкладывается в это словосочетание?
Оба варианта верны.
Традиционное управление: взять в обучение.