Существительное мозоль женского рода: больная мозоль.
Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Да, склонение мужской фамилии Король обязательно (женская фамилия не склоняется).
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
Если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она сохраняет форму единственного числа: Татьяна и Олег Король.
Мужские фамилии Пак и Король склоняются, женские – нет.