Ботать. 1. Ударять боталом (шест с дощечкой или конусообразным пустым наконечником на конце) по воде, загоняя рыбу в сети (в речи рыбаков).
2. разг.-сниж. Стучать, ударять.
См. в «Письмовнике».
Правильно: Бывало, они вместе собирались за чаем. Им бывало весело.
Возможны оба варианта. А какой вариант ЕГЭ признает правильным, интересно?
Нет, некорректно.