См. в «Википедии».
Правильно: Мы шли проливом Босфор.
Запятая может ставиться, может не ставиться. В спорных случаях окончательное решение о постановке знаков препинания принимает автор текста.
Географические названия обычно не склоняются в сочетании со словом пролив (кроме тех случаев, когда топоним выражен прилагательным): проливам Босфор и Дарданеллы.