Правильно: борщом.
Кавычки не нужны.
Мужская фамилия Борщ склоняется. Правильно: замужем за Антоном Борщем (если ударение на первом слоге) или за Антоном Борщом (если ударение на втором слоге). Место ударения определяет носитель фамилии.
В англо-русском лингвострановедческом словаре «Американа» зафиксировано: Уорик.
Правильно: борщевик Сосновского.
Нет оснований писать слово сборник с большой буквы.