Кавычки не требуются: борьба самбо, борьба дзюдо.
Словари фиксируют варианты сочетаемости: бороться с чем, бороться против чего. Аналогично: борьба с чем и против чего. Но все же более употребительно: борьба со злом.
Беглую гласную при склонении фамилий принято оставлять: Бореца.
Фамилия Бурда склоняется – и мужская, и женская.
Правильно: ПастернАка.
Аббревиатура склоняется: борьба со СПИДом.