Верно: помолиться Богу.

Мужские фамилии склоняются: нет Лысака, Бабака, Гасака и т. д.

Да, эти мужские фамилии склоняются.

В выражении ей-богу и во множественном числе (о боги) возможно только написание строчными.

В остальных случаях руководствуемся правилом: в устойчивых сочетаниях междометного характера, которые употребляются в разговорной речи вне прямой связи с религией, слова бог и господь пишутся со строчной буквы: не дай бог, о боже мой, не приведи господь, слава богу. 

Слова Боже и Господи пишутся с большой буквы, если выражают обращение к Богу. В некоторых случаях выбор написания зависит от контекста. Так, может быть написано слава Богу (если контекст указывает, что говорящий действительно благодарит Господа Бога) и слава богу (если по контексту ясно, что употреблен расхожий разговорный оборот: В тот раз он, слава богу, пришёл вовремя!).

Алтарь - это не столько место поклонения, сколько жертвенник. На наш взгляд, не обязательно в тексте пояснять назначение алтаря.

Сочетание "смертный человек" корректно. При этом в Вашем примере слово "человек" вообще можно убрать.

Запятая нужна: Слава богу, нет.

Возможны варианты: Страшное соседство, слава Богу, оказалось недолгим; Страшное соседство (слава Богу!) оказалось недолгим.

Обратите внимание: если контекст указывает, что говорящий действительно благодарит Господа Бога, следует писать слава Богу; если же по контексту ясно, что употреблен расхожий разговорный оборот, то прописная буква не используется.

См. ответ № 184325.

Правильно: собор российских новомучеников, миру явленных и неявленных, но ведомых Богу.